人工智能数学与代码实现--线性代数3

分类:热门推荐日期:2024-06-27浏览:1评论:0

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人工智能数学与代码实现--线性代数3

  • 人工智能数学与代码实现--线性代数3
    • 实验环境
    • 实验目的
    • 知识点
    • 实验分析
    • 任务实施过程
      • 一、打开Jupyter，并新建python工程
      • 二、矩阵的特征分解与奇异值分解
        • 1. 特征值与特征向量
        • 2. 奇异值分解
        • 三、矩阵对角化和二次型
          • 1. 矩阵对角化
          • 2. 正交矩阵
          • 3. 向量单位化
          • 4. 正交向量
          • 5. 对称矩阵的正交对角化
          • 6. 二次型变换为标准型
          • 四、解线性方程组
            • 1. 齐次线性方程组
            • 2. 非齐次线性方程组
              • （1）唯一解情形
              • （2）多解情形
              • （3）无解情形
              • 实验总结
              • 说明

                人工智能数学与代码实现–线性代数3

                实验环境

                1. Oracle Linux 7.4
                2. Python 3

                实验目的

                1. 基于Python实现求矩阵的特征值、特征向量以及奇异值分解
                2. 基于Python实现矩阵对角化和二次型变换为标准型
                3. 基于Python实现求解线性方程组

                知识点

                1. 矩阵的特征分解与奇异值分解
                2. 矩阵正交对角化和二次型
                3. 解线性方程组

                实验分析

                任务实施过程

                一、打开Jupyter，并新建python工程

                1.桌面空白处右键，点击Konsole打开一个终端

                2.切换至/experiment/jupyter目录

                cd experiment/jupyter

                3.启动Jupyter，root用户下运行需加--allow-root

                jupyter notebook --ip=127.0.0.1 --allow-root

                4.依次点击右上角的 New，Python 3新建python工程

                5.点击Untitled，在弹出框中修改标题名，点击Rename确认

                二、矩阵的特征分解与奇异值分解

                1. 特征值与特征向量
                import numpy as np
A = np.matrix([[3, -1],[-1, 3]])
# 方法一
# eigvals(a)/eig(a)
# a表示需要计算特征值的矩阵
print('矩阵A的特征值为：', np.linalg.eigvals(A))
# 方法二
A1,A2 = np.linalg.eig(A)
print('矩阵A的特征值为：', A1)
print('矩阵A的特征向量为：\n', A2)
# 此处得到的特征向量是向量单位化之后的值
                2. 奇异值分解
                import numpy as np
A = np.mat([[4,11,14],[8,7,-2]])
# svd(a, ...)
# a表示需要进行奇异值分解的矩阵
U,X,V = np.linalg.svd(A)
print('矩阵A的左奇异向量为：\n', U)
print('矩阵A的奇异值为：', X)
print('矩阵A的右奇异向量为：\n', V)
# 验证
# 构建矩阵D 矩阵D与矩阵A的行列数相同
D = np.column_stack((np.diag(X), [0,0]))
# 验证 注意这里得到的右奇异值向量V是转置以后的结果，验证直接相乘
print('验证U*D*V.T：\n',U*D*V)
print('验证U*D*V.T：',np.allclose(U*D*V,A))

                三、矩阵对角化和二次型

                1. 矩阵对角化
                import numpy as np
A = np.mat([[1,3,3],[-3,-5,-3],[3,3,1]])
A1,A2 = np.linalg.eig(A)
print('矩阵A的特征值为：', A1)
print('矩阵A的特征向量为：\n', A2)
# 构建矩阵P
P = np.mat(A2)
print('矩阵P为：\n', P)
# 构建矩阵D
D = np.diag(A1)
print('矩阵D为：\n', D)

                # 验证
# np.allclose()检测两个矩阵是否相同
print('验证P^(-1) AP=D：\n',np.allclose(np.dot(P**(-1),A).dot(P),D))
# 第二种写法
print('验证P^(-1) AP=D：\n',np.allclose(P**(-1)*A*P,D))
                2. 正交矩阵
                import numpy as np
sq2 = np.sqrt(2)/2
A = np.mat([[sq2,sq2],[-sq2,sq2]])
print('矩阵A.T*A的结果为：\n', A.T*A)
print(' A.T*A =E：',np.allclose(A.T*A, np.eye(2)))
                3. 向量单位化
                import numpy as np
v = np.array([1,-2,2,0])
# 求v的模长
vv = np.linalg.norm(v)
# 向量单位化后的向量等于向量除以模长
u = (1/vv)*(v)
print('向量v的长度为：', vv)
print('单位向量u为：', u)
                4. 正交向量
                import numpy as np
a = np.array([5,6,-1])
b = np.array([4/3,-1,2/3])
# 方法一
print("a点乘b=", a.dot(b)) 
# 方法二
print('向量a*b的结果为：', np.sum(a*b))

                由于计算机解决该类问题的时候使用的是数值计算的方法，所求出的结果是一个无限接近精确解的近似解，所以在此处所求取的结果是一个非常接近0的数.

                5. 对称矩阵的正交对角化
                import numpy as np
A = np.mat([[3,-2,4],[-2,6,2],[4,2,3]])
A1,A2 = np.linalg.eig(A)
print('矩阵A的特征值为：', A1)
print('矩阵A的特征向量为：\n', A2)

                # 特征向量正交化
# 对称矩阵不同特征值特征向量正交，所以只要让特征值为7的两个特征向量正交化
# vdot()两个向量的点积
B3 =  A2[:,2]-np.float(np.vdot(A2[:,2],A2[:,0]))/np.float(np.vdot(A2[:,0],A2[:,0]))*A2[:,0]
# 特征向量单位化
P1 = A2[:,0]/np.linalg.norm(A2[:,0])
P2 = A2[:,1]/np.linalg.norm(A2[:,1])
P3 =  B3/np.linalg.norm(B3)
# 使用bmat函数合并矩阵
P = np.bmat("P1 P2 P3")
print('矩阵P为：\n',P)
# 构建矩阵D
D = np.diag(A1)
print('矩阵D为：\n', D)

                # 验证
print('验证P^(-1) AP=D：\n',np.allclose(P**(-1)*A*P,D))
print('验证P.T*P=E：\n', np.allclose(P.T*P,np.eye(3)))
                6. 二次型变换为标准型
                from numpy import array,mat,diag,allclose
from numpy.linalg import eig
from sympy import symbols,factor
x1,x2,x3= symbols('x1 x2 x3')
A=array([[1,0,2],[0,2,0], [2,0,-2]])
x = array([x1,x2,x3])
# 检验
f = (x.T.dot(A)).dot(x)
print(factor(f))
A1,A2 = eig(A)
print('矩阵A的特征值为：', A1)
# 构建矩阵Q
Q =mat(A2)
print('矩阵Q为：\n', Q)
# 构建矩阵D
D =diag(A1)
# 验证Q.TAQ=D
print('Q.TAQ=D',allclose((Q.T.dot(A)).dot(Q),D))

                四、解线性方程组

                1. 齐次线性方程组

                方法一：

                import sympy as sp
# 创建系数矩阵
A=sp.Matrix([[1, -5, 2, -3],[5, 3, 6, -1], [2, 4, 2, 1]])
# 查看系数矩阵的秩
print("A秩为：\n",A.rank())
# 系数矩阵的秩小于n=4有非零解，基础解系有4-2=2个向量
print("A的零空间（即基础解系）为：\n",A.nullspace())

                方法二：

                import numpy as np
from scipy.linalg import null_space
A=np.mat([[1, -5, 2, -3],[5, 3, 6, -1], [2, 4, 2, 1]])
print("A的零空间（即基础解系）为：\n",null_space(A))
                2. 非齐次线性方程组
                （1）唯一解情形

                方法一：（根据Cramer法则）

                import numpy as np
# 创建分母的二维数组
arr = np.array([[1, 1],[30, 20]]) 
# 创建分子的二维数组
arr1 = np.array([[80, 1],[2050, 20]])  
arr2 = np.array([[1, 80],[30, 2050]]) 
# 求解行列式
D = np.linalg.det(arr)
if D==0:
    print('不可使用Cramer法则求解')   
D1 = np.linalg.det(arr1)
D2 = np.linalg.det(arr2)
print('方程组的解x1为：', D1 / D)
print('方程组的解x2为：', D2 / D)

                方法二：

                from numpy import array,c_
from numpy.linalg import matrix_rank,solve,inv
# 创建系数矩阵
A = array([[1, 1],[30, 20]])  
b =array([80, 2050])
# 构造增广矩阵
# np.c_[]添加矩阵的列
C = c_[A,b]
print('增广矩阵的秩为{}，系数矩阵的秩为{}'.format(matrix_rank(A),matrix_rank(C)))
# 增广矩阵的秩=系数矩阵的秩=2 有唯一解
# 方法一：（使用solve函数）
# solve(a, b)
# a,b分别表示需要进行求解方程组的系数矩阵和“因变量”的值
x = solve(A, b)
print('方程组的解为：', x)
# 方法二：
print('方程组的唯一解为：', inv(A).dot(b))

                from numpy import array,c_
from numpy.linalg import matrix_rank
from scipy.sparse.linalg import cg
A=array([[4,-1,1],[-1,4.25,2.75], [1,2.75,3.5]])
b=array([6,-0.5,1.25])
# 构造增广矩阵
C = c_[A,b]
print('增广矩阵的秩为{}，系数矩阵的秩为{}'.format(matrix_rank(A),matrix_rank(C)))
# info 是关于迭代收敛的信息，int
# 这里的系数矩阵A必须是对称正定矩阵
x, info = cg(A, b)  
print('方程的唯一解为：',x)
                （2）多解情形

                方法一：（求通解）

                import sympy as sp
A=sp.Matrix([[1, 1, -3, -1],[3, -1, -3, 4], [1, 5, -9, -8]])
b=sp.Matrix([1, 4, 0])
# 构造增广矩阵
C=A.row_join(b)
print('增广矩阵的秩为{}，系数矩阵的秩为{}'.format(A.rank(),C.rank()))
# 增广矩阵的秩=系数矩阵的秩=2 有无穷多解
print("增广阵的行最简形为：\n",C.rref())

                通过上述返回值可以看出，增广阵的列向量组的最大无关组由第1列、第2列组成，对应的行最简形的列是单位坐标向量。

                方法二：（求最小范数解）

                from numpy import array,c_
from numpy.linalg import pinv,matrix_rank
A=array([[1, 1, -3, -1],[3, -1, -3, 4], [1, 5, -9, -8]])
b=array([1, 4, 0])
# 构造增广矩阵
C = c_[A,b]
print('增广矩阵的秩为{}，系数矩阵的秩为{}'.format(matrix_rank(A),matrix_rank(C)))
# 求最小范数解
# pinv()计算矩阵的伪逆
x=pinv(A).dot(b)  
print("最小范数解为：\n",x)
                （3）无解情形
                from numpy import array
from numpy.linalg import pinv
A=array([[1, 1],[2, 2], [1, 2]])
b=array([1, 3, 2])
C = c_[A,b]
print('增广矩阵的秩为{}，系数矩阵的秩为{}'.format(matrix_rank(A),matrix_rank(C)))
#求最小二乘解
x=pinv(A).dot(b)  
print("最小二乘解为：",x)

                实验总结

                本实验主要通过使用Python的NumPy工具库，实现了基于Python实现求矩阵的特征值、特征向量、奇异值分解、矩阵对角化、二次型变换为标准型、求解线性方程组。

                –end–

                说明

                本实验（项目）/论文若有需要，请后台私信或【文末】个人微信公众号联系我

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