[Day 5] 區塊鏈與人工智能的聯動應用：理論、技術與實踐

人工智能的基本算法

人工智能（AI）是計算機科學的一個分支，旨在創建能夠模仿或超越人類智能行為的機器。AI的實現依賴於各種算法，這些算法能夠讓機器學習、推理、規劃和感知。這篇文章將深入介紹幾個主要的AI基本算法，包括線性回歸、邏輯回歸、決策樹、支持向量機、k最近鄰、樸素貝葉斯和神經網絡。

一、線性回歸（Linear Regression）

線性回歸是最簡單的機器學習算法之一，通常用於預測一個連續值。它假設輸入變量（自變量）與輸出變量（因變量）之間存在線性關係。

1. 模型公式

線性回歸模型的數學表示為：

其中：

是輸出變量。
$\beta_0$ 是截距項。
$\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n$ 是自變量 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 的係數。
ϵ是誤差項。
2. 損失函數

線性回歸的目標是最小化均方誤差（MSE）：

$MSE = \frac{1}{m}\sum _{i+1}^{m}(\widehat{y_{i}} - y_{i})^{2}$

其中 $\widehat{y_{i}}$ 是模型的預測值， $y_{i}$ 是實際值，是樣本數量。

3. 梯度下降

最小化MSE的方法之一是梯度下降。梯度下降通過更新參數來最小化損失函數：

$B_{j}:=B_{j} -\alpha \tfrac{\partial }{\partial B_{j} }MSE$

其中是學習率。

二、邏輯回歸（Logistic Regression）

邏輯回歸用於二分類問題，預測結果為兩個離散值之一。儘管名字中有「回歸」，但它實際上是一種分類算法。

1. 模型公式

邏輯回歸模型使用sigmoid函數將線性回歸的輸出轉化為概率值：

2. 損失函數

邏輯回歸的損失函數為對數損失（Log Loss）：

$LogLoss = - \frac{1}{m}\sum _{i+1}^{m}\left [ y_{i}log(\widehat{y_{i}})+ (1 - {y_{i}})log(1 - \widehat{y_{i}})\right ]$

三、決策樹（Decision Tree）

決策樹是一種非參數監督學習方法，用於分類和回歸。決策樹通過將數據劃分為子集，構建一棵樹形結構來進行決策。

1. 節點劃分

決策樹根據特徵將數據集劃分為不同的子集，每個分支代表一個可能的決策路徑。常見的劃分標準包括信息增益（Information Gain）和基尼不純度（Gini Impurity）。

2. 信息增益

信息增益基於熵（Entropy），用於衡量數據集的純度。熵的計算公式為：

其中 $p_{i}$ 是第類的概率，是類別數量。

信息增益計算公式為：

3. 基尼不純度

基尼不純度計算公式為：

決策樹通過選擇信息增益最大或基尼不純度最小的特徵來進行節點劃分。

四、支持向量機（Support Vector Machine, SVM）

支持向量機是一種強大的分類算法，通過尋找最佳分隔超平面來最大化兩類之間的間隔。

1. 最佳超平面

SVM的目標是找到一個超平面，將不同類別的數據點分開，並最大化邊界的距離。超平面的數學表示為：

其中是權重向量，是偏差。

2. 最大化間隔

SVM通過求解以下優化問題來最大化間隔：

$min_{w,b}\, \frac{1}{2}\left \| w \right \|^{2}$

3. 核方法

當數據不可線性分離時，SVM可以使用核函數將數據映射到高維空間，使其在高維空間中線性可分。常見的核函數包括線性核、多項式核和高斯核。

五、k最近鄰（k-Nearest Neighbors, kNN）

k最近鄰是一種簡單的非參數分類和回歸算法，基於測試樣本與訓練樣本之間的距離來進行分類或回歸。

1. 距離度量

kNN常用的距離度量包括歐氏距離（Euclidean Distance）和曼哈頓距離（Manhattan Distance）。

歐氏距離計算公式為：

$d(x,y) = \sqrt{\sum _{i=1}^{n}(x_{i} - y_{i})^{2}}$

曼哈頓距離計算公式為：

$d(x,y) = \sum _{i=1}^{n}\left | x_{i} - y_{i} \right |$

2. k值選擇

k值表示用於決策的鄰居數量。k值選擇對模型性能有重要影響，通常通過交叉驗證來確定最佳k值。

六、樸素貝葉斯（Naive Bayes）

樸素貝葉斯是一種基於貝葉斯定理的簡單且高效的分類算法，假設特徵之間相互獨立。

1. 貝葉斯定理

貝葉斯定理表達了後驗概率與先驗概率和似然度之間的關係：

其中：
- 是給定特徵的條件下類別的概率。
- 是給定類別的條件下特徵的概率。
- 是類別的先驗概率。
- 是特徵的邊際概率。
  2. 簡化假設
  
  樸素貝葉斯假設特徵之間相互獨立，則有：
  
  模型最終決策為：
  
  $y = arg\, max_{y}P(y)\prod _{i=1}^{n}P(x_{i} | y)$
  
  七、神經網絡（Neural Networks）
  
  神經網絡是受生物神經系統啟發的一種模型，特別適用於複雜模式識別和數據建模。
  
  1. 感知器（Perceptron）
  
  感知器是最基本的神經網絡單元，通過線性組合
  
  輸入特徵並應用激活函數來進行決策。
  
  感知器模型
  
  感知器模型的輸出為：
  
  $y = f(\sum _{i = 1}^{n}w_{i}x_{i} + b)$
  
  其中：
  - $x_{i}$ 是輸入特徵。
  - $w_{i}$ 是權重。
  - 是偏差。
  - 是激活函數，如階躍函數、sigmoid函數等。
    2. 多層感知器（Multilayer Perceptron, MLP）
    
    多層感知器是一種前饋神經網絡，包括輸入層、隱藏層和輸出層。每層的神經元與前一層的神經元全連接，並通過激活函數進行非線性變換。
    
    前向傳播（Forward Propagation）
    
    輸入層將特徵向量傳遞給隱藏層，隱藏層計算加權和並應用激活函數後傳遞給下一層。假設第層的輸出為 $a^{l}$ ，則：
    
    $z^{l+1} = W^{l+1}a^{l}+ b^{l+1}$
    
    $a^{l+1} = f(z^{l+1})$
    
    其中 $W^{l+1}$ 是權重矩陣， $b^{l+1}$ 是偏差向量，是激活函數。
    
    反向傳播（Backpropagation）
    
    反向傳播算法通過計算損失函數對每個權重和偏差的梯度來更新模型參數。假設損失函數為，則對於第層的權重和偏差：
    
    $\frac{\delta L}{\delta W^{l}} = \delta ^{l+1}(a^{l})^T$
    
    $\frac{\delta L}{\delta b^{l}} = \delta ^{l}$
    
    其中 $\delta ^{l}$ 是第層的誤差項，計算方式為：
    
    3. 深度神經網絡（Deep Neural Networks, DNN）
    
    深度神經網絡是具有多個隱藏層的神經網絡，能夠學習數據中的複雜模式。常見的深度學習架構包括卷積神經網絡（Convolutional Neural Networks, CNN）和循環神經網絡（Recurrent Neural Networks, RNN）。
    
    卷積神經網絡（CNN）
    
    CNN通常用於圖像處理任務，由卷積層、池化層和全連接層組成。卷積層使用卷積核提取特徵，池化層通過降採樣減少特徵圖的維度，全連接層進行分類。
    
    卷積操作
    
    卷積層的輸出計算為：
    
    其中是輸入特徵圖，是卷積核，和是卷積核的大小。
    
    池化操作
    
    常見的池化操作包括最大池化（Max Pooling）和平均池化（Average Pooling）。最大池化的計算為：
    
    循環神經網絡（RNN）
    
    RNN適用於處理序列數據，如自然語言處理和時間序列分析。RNN通過隱藏狀態將前一時刻的輸出與當前輸入結合。
    
    隱藏狀態更新
    
    RNN的隱藏狀態更新公式為：
    
    $h_{t} = f(W_{hh}h_{t-1}+W_{xh}x_{t}+b_{h})$
    
    其中 $h_{t}$ 是當前隱藏狀態， $h_{t-1}$ 是前一時刻隱藏狀態， $x_{t}$ 是當前輸入， $W_{hh}$ 和 $W_{xh}$ 是權重矩陣， $b_{h}$ 是偏差，是激活函數。
    
    長短期記憶（LSTM）和門控循環單元（GRU）
    
    LSTM和GRU是兩種改進的RNN結構，通過引入門控機制來解決長期依賴問題。
    
    LSTM的主要結構包括遺忘門、輸入門和輸出門：
    
    $f_{t} = \sigma (W_{f} \cdot \left [ h_{t-1}, x_{t} \right ]+b_{f})$
    
    $i_{t} = \sigma (W_{i} \cdot \left [ h_{t-1}, x_{i} \right ]+b_{i})$
    
    $f_{o} = \sigma (W_{o} \cdot \left [ h_{t-1}, x_{t} \right ]+b_{o})$
    
    $\widetilde{C_{t}} = tanh(W_{C}\cdot \left [ h_{t-1}, x_{t} \right ]+b_{C})$
    
    $C_{t} = f_{t}*C_{t} + i_{t}*\widetilde{C_{t}}$
    
    $h_{t} = O_{t}*tanh(C_{t})$
    
    其中 $f_{t}$ 是遺忘門， $i_{t}$ 是輸入門， $o_{t}$ 是輸出門， $C_{t}$ 是細胞狀態， $\widetilde{C_{t}}$ 是候選細胞狀態。
    
    GRU簡化了LSTM的結構，只有更新門和重置門：
    
    $z_{t} = \sigma (W_{z} \cdot \left [ h_{t-1}, x_{t} \right ]+b_{z})$
    
    $r_{t} = \sigma (W_{r} \cdot \left [ h_{t-1}, x_{t} \right ]+b_{r})$
    
    $\widetilde{h_{t}} = tanh(W_{h}\cdot \left [ h_{t-1}, x_{t} \right ]+b_{h})$
    
    $h_{t} = (1 - z_{t})*h_{t-1} + z_{t}*\widetilde{h_{t}}$
    
    八、綜合應用案例
    
    為了更好地理解這些基本算法，我們可以考慮一個具體的應用案例：預測房價。
    
    1. 問題描述
    
    假設我們有一個房價數據集，包括特徵如面積、房間數量、位置等。我們的目標是根據這些特徵預測房屋的價格。
    
    2. 數據處理
    
    首先，我們需要對數據進行預處理，包括處理缺失值、標準化數據和分割訓練集與測試集。
```
import pandas as pd
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
# 加載數據
data = pd.read_csv('housing_data.csv')
# 處理缺失值
data = data.fillna(data.mean())
# 特徵和標籤
X = data[['area', 'rooms', 'location']]
y = data['price']
# 標準化數據
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)
# 分割訓練集和測試集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X_scaled, y, test_size=0.2, random_state=42)
```
    3. 模型訓練與評估
    
    我們將使用線性回歸模型來訓練和評估這個問題。
```
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error
# 訓練模型
model = LinearRegression()
model.fit(X_train, y_train)
# 預測
y_pred = model.predict(X_test)
# 評估模型
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
print(f'Mean Squared Error: {mse}')
```
    4. 結果分析
    
    通過比較預測值和實際值，我們可以分析模型的性能。如果需要更高的準確性，可以考慮使用更複雜的算法如隨機森林、支持向量機或神經網絡。
    
    九、結論
    
    本文介紹了人工智能的幾個基本算法，包括線性回歸、邏輯回歸、決策樹、支持向量機、k最近鄰、樸素貝葉斯和神經網絡。這些算法是機器學習和人工智能領域的基石，理解並掌握這些算法對於開發高效的AI應用至關重要。在實際應用中，根據具體問題選擇合適的算法並進行調優，可以顯著提高模型的性能和預測精度。
    
    附錄：常用公式與推導
    
    1. 線性回歸
    
    損失函數：
    
    $MSE = \frac{1}{m}\sum _{i+1}^{m}(\widehat{y_{i}} - y_{i})^{2}$
    
    梯度下降更新公式：
    
    $B_{j}:=B_{j} -\alpha \tfrac{\partial }{\partial B_{j} }MSE$
    
    2. 邏輯回歸
    
    損失函數：
    
    $LogLoss = - \frac{1}{m}\sum _{i+1}^{m}\left [ y_{i}log(\widehat{y_{i}})+ (1 - {y_{i}})log(1 - \widehat{y_{i}})\right ]$
    
    3. 決策樹
    
    信息增益：
    
    基尼不純度：
    
    4. 支持向量機
    
    最佳超平面：
    
    優化問題：
    
    $min_{w,b}\, \frac{1}{2}\left \| w \right \|^{2}$
    
    5. k最近鄰
    
    歐氏距離：
    
    $d(x,y) = \sqrt{\sum _{i=1}^{n}(x_{i} - y_{i})^{2}}$
    
    6. 樸素貝葉斯
    
    貝葉斯定理：
    
    7. 神經網絡
    
    前向傳播：
    
    $z^{l+1} = W^{l+1}a^{l}+ b^{l+1}$
    
    $a^{l+1} = f(z^{l+1})$
    
    反向傳播：
    
    $\frac{\delta L}{\delta W^{l}} = \delta ^{l+1}(a^{l})^T$
    
    $\frac{\delta L}{\delta b^{l}} = \delta ^{l}$
    
    LSTM：
    
    $f_{t} = \sigma (W_{f} \cdot \left [ h_{t-1}, x_{t} \right ]+b_{f})$
    
    $i_{t} = \sigma (W_{i} \cdot \left [ h_{t-1}, x_{i} \right ]+b_{i})$
    
    $f_{o} = \sigma (W_{o} \cdot \left [ h_{t-1}, x_{t} \right ]+b_{o})$
    
    $\widetilde{C_{t}} = tanh(W_{C}\cdot \left [ h_{t-1}, x_{t} \right ]+b_{C})$
    
    $C_{t} = f_{t}*C_{t} + i_{t}*\widetilde{C_{t}}$
    
    $h_{t} = O_{t}*tanh(C_{t})$
    
    GRU：
    
    $z_{t} = \sigma (W_{z} \cdot \left [ h_{t-1}, x_{t} \right ]+b_{z})$
    
    $r_{t} = \sigma (W_{r} \cdot \left [ h_{t-1}, x_{t} \right ]+b_{r})$
    
    $\widetilde{h_{t}} = tanh(W_{h}\cdot \left [ h_{t-1}, x_{t} \right ]+b_{h})$
    
    $h_{t} = (1 - z_{t})*h_{t-1} + z_{t}*\widetilde{h_{t}}$
    
    通過這些基本算法和公式的詳細解讀，我們能夠更好地理解AI技術的核心機理，並將其應用於實際的數據分析和預測中。掌握這些算法，不僅能夠提升我們在AI領域的理論知識，還能夠應對各種複雜的商業問題，為企業提供強有力的決策支持。
    
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