C语言经典算法之Z-Algorithm（Z-Score算法）

目录

前言

A.建议

B.简介

一 代码实现

二 时空复杂度

A.时间复杂度（Time Complexity）

B.空间复杂度（Space Complexity）

C.总结

三 优缺点

A.Z-Algorithm的优点：

B.Z-Algorithm的缺点：

C.总结：

四 现实中的应用

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前言

A.建议

1.学习算法最重要的是理解算法的每一步，而不是记住算法。

2.建议读者学习算法的时候，自己手动一步一步地运行算法。

B.简介

Z-Algorithm（也称Z-Score算法）是一种在线性时间内计算给定字符串的所有后缀与其自身最长公共前缀长度的高效算法。

一 代码实现

算法原理： Z-Algorithm的主要思想是在遍历输入字符串的同时，维护一个长度为n的数组Z，其中Z[i]表示字符串从索引i开始的后缀与原字符串的最长公共前缀长度。算法通过利用已经计算过的子问题结果来避免重复工作，从而达到线性时间复杂度。

// 定义Z数组
int Z[n];
// 初始化边界条件
Z[0] = n; // 当前字符的单个字符作为其自己的最长公共前缀
if (n > 1 && S[0] == S[1]) {
    Z[1] = 2;
} else {
    Z[1] = 0;
}
// L 和 R 分别代表当前活跃的Z-box的左边界和右边界
int L = 0, R = 0;
// 遍历字符串，计算每个位置的Z值
for (int i = 2; i < n; ++i) {
    if (i <= R) { // 利用已知的Z值加速计算
        Z[i] = min(R - i + 1, Z[i - L]);
    }
    while (i + Z[i] < n && S[Z[i]] == S[i + Z[i]]) { // 扩展Z[i]
        Z[i]++;
    }
    if (i + Z[i] - 1 > R) { // 更新活跃的Z-box边界
        L = i;
        R = i + Z[i] - 1;
    }
}

以上代码给出了Z-Algorithm的基本框架，下面是一个更完整的C语言实现示例：

#include #include void computeZArray(char *S, int Z[], int n) {
    Z[0] = n;
    if (n > 1) {
        Z[1] = (S[0] == S[1]) ? 2 : 0;
    }
    int L = 0, R = 0;
    for (int i = 2; i < n; ++i) {
        if (i > R) {
            L = R = i;
            while (R < n && S[R - L] == S[R]) {
                R++;
            }
            Z[i] = R - L;
            R--;
        } else {
            int k = i - L;
            if (Z[k] < R - i + 1) {
                Z[i] = Z[k];
            } else {
                L = i;
                while (R < n && S[R - L] == S[R]) {
                    R++;
                }
                Z[i] = R - L;
                R--;
            }
        }
    }
}
int main() {
    char S[1000];
    scanf("%s", S);
    int n = strlen(S);
    
    int Z[n];
    memset(Z, 0, sizeof(Z));
    
    computeZArray(S, Z, n);
    // 输出Z数组或者进一步处理Z数组得到所需信息
    
    return 0;
}

这段代码首先初始化了Z数组的边界条件，然后通过两个指针L和R维护当前活跃的Z-box边界。在循环过程中，根据之前计算的Z值以及字符串比较的结果更新Z[i]的值，并不断扩展或收缩活跃的Z-box。最后，computeZArray函数将计算得到的Z数组返回，可用于后续的字符串匹配或其他分析任务。

二 时空复杂度

A.时间复杂度（Time Complexity）

Z-Algorithm的时间复杂度为O(n)，其中n是输入字符串的长度。这是因为算法仅遍历输入字符串一次，并在每次迭代中更新Z数组中的元素。尽管在内部有一个while循环用于扩展公共前缀，但由于每次迭代都在缩小范围（通过移动R指针），总的迭代次数不会超过字符串的长度n。

B.空间复杂度（Space Complexity）

Z-Algorithm的空间复杂度同样为O(n)。这是因为它需要存储一个长度为n的辅助数组Z，用于记录每个后缀与原字符串的最长公共前缀长度。除此之外，算法不需要额外的显著空间。

C.总结

总结来说，Z-Algorithm因其高效的线性时间复杂度和线性空间复杂度而在字符串处理领域内广受欢迎，特别适用于寻找一个字符串的所有后缀的最长公共前缀，以及相关的一些应用，如快速的字符串匹配等问题。

三 优缺点

A.Z-Algorithm的优点：

1. 线性时间复杂度：Z-Algorithm能在单次扫描输入字符串的情况下计算出所有后缀与原字符串的最长公共前缀长度，具有非常优秀的时空效率，时间复杂度为O(n)，适合处理大型数据。

2. 原地计算：只需要一个与输入字符串等长的辅助数组来存储结果，不需要额外的工作空间，因此空间复杂度也是O(n)且是原地操作，这对于内存有限的情况非常重要。

3. 实用性：由于它可以快速找到字符串的重复模式，所以在很多实际问题中有广泛应用，例如预处理阶段进行字符串匹配算法的优化，提高诸如KMP等其他字符串匹配算法的性能。

4. 易于实现：相比于一些复杂的字符串处理算法，Z-Algorithm的逻辑相对直接，实现起来较为简单。

B.Z-Algorithm的缺点：

1. 不适合实时修改：如果输入字符串经常变动，则每次变动都需要重新执行整个算法，因为Z值依赖于整个字符串的内容。

2. 特定场景下可能不是最优：尽管整体效率高，但在某些特定的字符串匹配场景中，比如当待查找模式特别大而主字符串较小时，其他针对性强的算法如Boyer-Moore或Sunday算法可能更快。

3. 不支持部分匹配查询：如果你只想查询字符串的部分区域是否有某个模式出现，Z-Algorithm需要重新计算整个字符串的相关信息，而不是只针对目标区域。

C.总结：

总的来说，Z-Algorithm在处理字符串相关的问题上表现优秀，特别是对于那些需要找出字符串中重复子串的任务，但是它并非万能工具，在面对特殊需求时可能需要结合其他算法一起使用。

四 现实中的应用

Z-Algorithm在现实世界中有多种应用场景，尤其在计算机科学和信息技术中，它的高效性和简洁性使其在解决字符串处理问题时尤为有用。以下是Z-Algorithm在实际应用中的几个例子：

1. 字符串匹配：

   • Z-Algorithm可以直接用于检测一个字符串中是否包含某个子串，并且可以用来找出所有出现的位置。通过预先计算Z-array，可以在O(1)时间内判断任意起始位置处是否存在给定的子串。

2. 文本压缩：

   • 在文本压缩算法中，Z-Algorithm可以帮助快速识别文本中的重复片段，这有助于构建更有效的压缩模型，如LZ77系列的压缩算法。

3. 文本编辑器和IDE：

   • 编辑器和集成开发环境（IDE）中的自动补全和语法高亮等功能可以利用Z-Algorithm来快速匹配关键词、标识符和其他模式。

4. 生物信息学：

   • 在DNA序列比对、RNA结构预测等领域，Z-Algorithm可以用于查找序列的重复区域或共享前缀，这对发现基因家族、研究进化关系等方面具有重要意义。

5. 网络传输和数据流处理：

   • 在处理大量数据流时，尤其是网络传输中，Z-Algorithm可以帮助快速检测模式以减少带宽消耗或提升处理速度，例如在网络入侵检测系统中快速识别恶意payload。

6. 数据库索引：

   • 在构建倒排索引或其它字符串索引结构时，Z-Algorithm可以帮助高效计算字符串的前缀，从而简化索引构建过程。

总之，Z-Algorithm作为一种在线性时间内完成字符串分析的强大工具，广泛应用于各种涉及字符串处理、模式匹配和数据分析的场合。