【动态规划】【同余前缀和】【多重背包】2902. 和带限制的子多重集合的数目

本文涉及知识点

动态规划汇总

C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频

C++算法：滑动窗口总结

多重背包

LeetCode2902. 和带限制的子多重集合的数目

给你一个下标从 0 开始的非负整数数组 nums 和两个整数 l 和 r 。

请你返回 nums 中子多重集合的和在闭区间 [l, r] 之间的 子多重集合的数目 。

由于答案可能很大，请你将答案对 10⁹ + 7 取余后返回。

子多重集合 指的是从数组中选出一些元素构成的 无序 集合，每个元素 x 出现的次数可以是 0, 1, …, occ[x] 次，其中 occ[x] 是元素 x 在数组中的出现次数。

注意：

如果两个子多重集合中的元素排序后一模一样，那么它们两个是相同的 子多重集合 。

空 集合的和是 0 。

示例 1：

输入：nums = [1,2,2,3], l = 6, r = 6

输出：1

解释：唯一和为 6 的子集合是 {1, 2, 3} 。

示例 2：

输入：nums = [2,1,4,2,7], l = 1, r = 5

输出：7

解释：和在闭区间 [1, 5] 之间的子多重集合为 {1} ，{2} ，{4} ，{2, 2} ，{1, 2} ，{1, 4} 和 {1, 2, 2} 。

示例 3：

输入：nums = [1,2,1,3,5,2], l = 3, r = 5

输出：9

解释：和在闭区间 [3, 5] 之间的子多重集合为 {3} ，{5} ，{1, 2} ，{1, 3} ，{2, 2} ，{2, 3} ，{1, 1, 2} ，{1, 1, 3} 和 {1, 2, 2} 。

提示：

1 <= nums.length <= 2 * 10⁴

0 <= nums[i] <= 2 * 10⁴

nums 的和不超过 2 * 10⁴ 。

0 <= l <= r <= 2 * 10⁴

动态规划

vCnt[i]记录i在nums中出现的次数，vCnt[i]不为0的数目不超过200个。

子多重集合 就是子序列。

i为0要特殊处理，否则会死循环。

动态规划的状态表示

dp[i][j] 表示 ，从[0,i]中选取若干个数和为j的可能数。状态数：O(200r)。

注意用滚动向量vPre、dp实现。

由于unorder_map 大约是O(10)，所以有超时的风险。直接vector> 空间复杂度是:O(nr)，空间会超。

利用前缀和优化转移方程

计算后置状态：

dp[j] = ∑ x : 0 v C n t [ i ] v P r e [ j − x × i ] s . t j − x × i > = 0 \Large\sum_{x:0}^{vCnt[i]}vPre[j-x\times i] \quad s.t \quad j-x \times i>=0 ∑x:0vCnt[i]​vPre[j−x×i]s.tj−x×i>=0

显然，可以用前缀和优化。

转移方程的时间复杂度为:O(1)，总时间复杂度为O(200r)。

动态规划的填表顺序

i从大到小。从小到大似乎也没问题。

动态规划的初始值

vPre[0]=1

动态规划的范围值

∑ x : l r v P r e [ x ] \Large \sum _{x:l}^r vPre[x] ∑x:lr​vPre[x]

代码

核心代码

templateclass C1097Int
{public:
	C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
	{}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
	{return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(long long n)const
	{C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
		while (n)
		{if (n & 1)
			{iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{return pow(MOD - 2);
	}
	int ToInt()const
	{return m_iData;
	}
private:
	int m_iData = 0;;
};
class Solution {public:
	int countSubMultisets(vector& nums, int left, int r) {const int iMax = *std::max_element(nums.begin(), nums.end());
		vector vCnt(1 + iMax);
		for (const auto& n : nums)
		{vCnt[n]++;
		}
		vector> vPre(r + 1);
		vPre[0] = 1;
		for (int i = iMax; i >= 0; i--)
		{if (0 == vCnt[i])
			{continue;
			}
			vector> dp(r + 1);
			if (0 == i)
			{for (int k = 0; k <= r; k++)
				{dp[k] = vPre[k] * (1 + vCnt[i]);
				}
			}
			else
			{for (int m = 0; m < i; m++)
				{C1097Int<> iiSum = 0;
					for (int k = m; k <= r; k += i)
					{iiSum += vPre[k];
						const int delIndex = k - (vCnt[i] + 1) * i;
						if (delIndex >= 0)
						{iiSum -= vPre[delIndex];
						}
						dp[k] = iiSum;
					}
				}
			}
			vPre.swap(dp);
		}
		C1097Int<> biRet = std::accumulate ( vPre.begin() + left, vPre.begin() + r + 1, C1097Int<>());
		return biRet.ToInt();
	}
};

测试用例

emplatevoid Assert(const T& t1, const T2& t2)
{assert(t1 == t2);
}
templatevoid Assert(const vector& v1, const vector& v2)
{if (v1.size() != v2.size())
	{assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{Assert(v1[i], v2[i]);
	}
}
int main()
{vector nums;
	int l,  r;
	{Solution sln;
		nums = { 1, 2, 2, 3 }, l = 6, r = 6;
		auto res = sln.countSubMultisets(nums, l, r);
		Assert(1, res);
	}
	{Solution sln;
		nums = { 2, 1, 4, 2, 7 }, l = 1, r = 5;
		auto res = sln.countSubMultisets(nums, l, r);
		Assert(7, res);
	}
	{Solution sln;
		nums = { 1, 2, 1, 3, 5, 2 }, l = 3, r = 5;
		auto res = sln.countSubMultisets(nums, l, r);
		Assert(9, res);
	}
}

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。

https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程

https://edu.csdn.net/lecturer/6176

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下载

想高屋建瓴的学习算法，请下载《喜缺全书算法册》doc版

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我想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。