常用算法代码模板 (2) ：数据结构

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AcWing算法基础课笔记与常用算法模板 (2) ——数据结构

常用算法代码模板 (1) ：基础算法

常用算法代码模板 (2) ：数据结构

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算法基础课 模板题笔记：贪心

算法选择——由数据范围反推算法时间复杂度

文章目录

  • 1 链表
    • 1.1 单链表
    • 1.2 双链表
    • 2 栈
    • 3 队列
      • 3.1 非循环队列
      • 3.2 循环队列
      • 4 单调队列
        • 4.1 单调栈
        • 4.2 单调队列
        • 5 模式匹配
          • 5.1 暴力匹配
          • 5.2 KMP
          • 6 Trie树
          • 7 并查集
            • 7.1 朴素并查集
            • 7.2 维护集合大小的并查集
            • 7.3 维护到祖宗结点距离的并查集
            • 8 堆
              • 8.1 优先队列
              • 8.2 数组堆
              • 9 哈希
                • 9.1 一般哈希
                  • 9.1.1 拉链法
                  • 9.1.2 开放寻址法
                  • 9.2 字符串哈希

                    1 链表

                    用链式前向星（静态链表）实现链表的定义、遍历与增删改查。

                    1.1 单链表

                    无头单链表。元素结点地址idx从0开始分配，表尾空指针记为-1。

                    int head, e[N], ne[N], idx;
// head为无头单链表的头指针
// e[i]存储结点i的值
// ne[i]指向结点i的后继
// idx为分配给结点的"地址"
/* 初始化 */
head = -1;	// 头指针初始为-1
idx = 0;	// 这里设定第1个插入的结点在0号下标
/* 头插一个数x */
void insert_head(int x) { e[idx] = x, ne[idx] = head, head = idx++;	// 后继为开始结点
}
/* 在结点k之后插入一个数x */
void insert(int k, int x) { e[idx] = x, ne[idx] = ne[k], ne[k] = idx++;	// 后继为k的后继
}
/* 删除头结点（需保证链表非空） */
void remove_head() { head = ne[head];
}
/* 删除结点k之后的结点 */
void remove(int k) { ne[k] = ne[ne[k]]
}
/* 遍历整条链表 */
for (int i = head; ~i; i = ne[i]) { int u = e[i];
    ...
}

                    1.2 双链表

                    带头循环双链表。规定0是头结点/左端点，只有后继；1是尾结点/右端点，只有前驱。元素结点地址idx从2开始分配，每个元素结点都不含空指针。

                    对于删除操作，为避免繁杂通常不直接将结点移出链表，而是通过开bool数组st[]标记结点来实现，st[i]记录结点i是否被删除。

                    int e[N], l[N], r[N], idx;
// l[i]、r[i]分别指向结点i的前驱、后继
// 特殊规定：0是头结点/左端点，只有后继；1是尾结点/右端点，只有前驱
/* 初始化 */
r[0] = 1, l[1] = 0;	// 左右端点分别指向对方
idx = 2;			// 第1个结点从下标2开始存储
/* 在结点k的右边插入一个数x */
void insert_r(int k, int x) { e[idx] = x;
    l[idx] = k, r[idx] = r[k];		// 前驱为k，后继为k的后继
    l[r[k]] = idx, r[k] = idx++;	// k后继的前驱、k的后继（须最后修改）即为该结点
}
/* 在结点k的左边插入一个数x */
void insert_l(int k, int x) { insert_r(l[k], x);	// 等价于在结点k的前驱（l[k]）的右边插入
}
/* 删除结点k */
void remove(int k) { l[r[k]] = l[k];
    r[l[k]] = r[k];
}
/* 遍历整条链表 */
for (int i = r[0]; i != 1; i = r[i]) { int u = e[i];
    ...
}

                    2 栈

                    FILO。手工数组建栈可以实现对栈内元素的随机存取。

                    int stk[N], tt = -1;
// stk[0 ... N-1]
// 栈顶指针tt初始化为-1
/* 栈顶入栈一个数 */
stk[++tt] = x;
/* 栈顶出栈一个数 */
tt--;
/* 获取栈顶的值 */
stk[tt];
/* 判断栈是否为空 */
if (tt != -1) ...

                    3 队列

                    FIFO

                    3.1 非循环队列

                    手工建立的非循环队列队中元素不会被覆盖，由此可以实现对队内历史元素的遍历与随机存取，或根据指针判断某些性质（如拓扑序列）。

                    int q[N], hh = 0, tt = -1;
// q[0 ... N-1]
// 队头初始为0， 队尾初始和栈顶一样为-1
/* 队尾入队一个数 */
q[++tt] = x;
/* 队头出队一个数 */
hh++;
/* 队头、队尾的值 */
q[hh];
q[tt];
/* 判断队列是否为空 */
if (hh <= tt) ...

                    3.2 循环队列

                    int q[N], hh = 0, tt = 0;
// q[0 ... N-1]
// 队头和队尾指针初始均为0
/* 队尾入队一个数 */
q[tt++] = x;
if (tt == N) tt = 0;
/* 队头出队一个数 */
hh++;
if (hh == N) hh = 0;
/* 队头、队尾的值 */
q[hh];
q[tt];
/* 判断队列是否为空 */
if (hh != tt) ...

                    4 单调队列

                    核心思想：及时弹出必不会作为答案的数，使得容器内各所指元素始终单调

                    4.1 单调栈

                    常见模型：找出数列中每个数左边离它最近的比它大/小的数

                    /* 示例：输出数组a[n]中每个数左边离它最近的比它小的数，不存在则输出-1 */
int n, a[N];			// a[1 ... n]
int stk[N], tt = -1;	// 栈中存储数组元素下标
// 思想：若a[x] >= a[y] (x < y)，则a[x]必不会是任何一数的答案，可直接剔除
for (int i = 0; i < n; i++) {// 双指针算法，i是子区间右端点
    while (tt != -1 && a[stk[tt]] >= a[i]) tt--;	// 弹出既大又"远"的数
  
    if (tt != -1) printf("%d ", a[stk[tt]]);
    else printf("-1 ");
  
    stk[++tt] = i;
}

                    4.2 单调队列

                    常见模型：找出滑动窗口中的最大值/最小值

                    /* 示例：输出滑动窗口每次前移时窗口内的最小值 */
int n, a[N];				// a[1 ... n]
int k;						// 滑动窗口的长度
int q[N], hh = 0, tt = -1;	// 队列（双端队列）中存储数组元素下标
// 思想：同单调栈，且应输出的最值在队头（单调）
for (int i = 0; i < n; i++) {// 双指针算法，i是子区间右端点
    while (hh <= tt && i - k + 1 > q[hh]) hh++;	// 判断队头是否滑出窗口
    while (hh <= tt && a[q[tt]] >= a[i]) tt--;	// 同单调栈，队尾弹出既大又"远"的数
  
    q[++tt] = i;	// 先将i从队尾入队
  
    if (i + 1 >= k) printf("%d ", a[q[hh]]);	// 当窗口长度达到要求时才输出
}

                    5 模式匹配

                    5.1 暴力匹配

                    时间复杂度： O ( n ⋅ m ) O(n\cdot m) O(n⋅m)

                    string s, p;
if (s.find(p) != -1) ...	// 匹配成功的操作

                    5.2 KMP

                    next数组： next [ i ] = \text{next}[i]= next[i]= 以 i i i 为终点的最大公共前后缀（此处规定包含 i i i ）的长度

                    时间复杂度： O ( n + m ) O(n+m) O(n+m)

                    char s[N], p[N];	// 主串s[1 ... n]与模式串p[1 ... m]（必须从下标1开始存储字符）
int n, m;			// 主串长度为n，模式串长度为m
int ne[N];			// next数组
/* 初始化 */
scanf("%s%s", s + 1, p + 1);			// 从下标1读取串至字符数组
n = strlen(s + 1), m = strlen(p + 1);	// 获取有效存储长度
/* 求模式串p的next数组：p对p自己作KMP匹配 */
for (int i = 2, j = 0; i <= m; i++) {// ne[1]=0，故i从2开始遍历
    while (j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
    if (p[i] == p[j + 1]) j++;
  
    ne[i] = j;	// 匹配成功则表明得到了以当前i为终点的最大公共前后缀的长度
}
/* KMP匹配 */
for (int i = 1, j = 0; i <= n; i++) {// 始终与j的下一位(j+1)作匹配
    while (j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j];	// 若j未退回起点且i与j的下一位不匹配，则j回溯
    if (s[i] == p[j + 1]) j++;	// 若i与j的下一位匹配，则j走至下一位
  
    if (j == m) { // 匹配成功的操作
        ...
        j = ne[j];	// 若要求找到所有匹配点，则j继续回溯、匹配
    }
}

                    6 Trie树

                    字典树（Retrieval Tree, Trie Tree）用于高效存储和查找字符串集合。

                    AC自动机为追加了fail指针的Trie树，算法思想参考KMP。

                    int son[N][26], cnt[N], idx;
// son[p][u]记录结点p的第u个子结点（26表示26个字母）
// cnt[p]存储以结点p结尾的单词数量
// idx初始为0（0号点既是根结点，又是空结点，故创建结点时为++idx）
/* 插入一个字符串 */
void insert(char str[]) { int p = 0;	// 从根结点0开始遍历Trie的指针
    for (int i = 0; str[i]; i++) { int u = str[i] - 'a';
        if (!son[p][u]) son[p][u] = ++idx;	// 不存在则创建该子结点
        p = son[p][u];
    }
    cnt[p]++;	// p最终指向字符串末尾字母，p计数器自增
}
/* 查询字符串出现的次数 */
int query(char str[]) { int p = 0;
    for (int i = 0; str[i]; i++) { int u = str[i] - 'a';
        if (!son[p][u])	return 0;	// 不存在则直接返回0
        p = son[p][u];
    }
    return cnt[p];	// p最终指向字符串末尾字母，返回数量
}

                    7 并查集

                    使用树的双亲表示法顺序存储，p[x]存储结点x的父结点（经过路径更新后变为该结点所属集合的根结点/祖宗结点）。若p[x] == x（或find(x) == x），则x为该集合的根结点。

                    判断结点a和b是否在同一集合：find(a) == find(b)

                    7.1 朴素并查集

                    int n;		// [1 ... n]
int p[N];	// p[i]存储结点i的祖先结点（路径压缩后则为根结点），集合根结点的父结点为其自身
/* 初始化 */
for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
/* 并查集核心操作：返回结点x所属集合的根结点，并进行路径压缩 */
int find(int x) { if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}
/* 合并结点a和b所在集合：将a并至b */
p[find(a)] = find(b);	// 将a的根接在b的根之后

                    7.2 维护集合大小的并查集

                    结点a所属集合的大小：cnt[find(a)]

                    int n;
int p[N], cnt[N];	// cnt[i]存储根结点i的集合中结点数（仅根结点的cnt有意义）
/* 初始化 */
for (int i = 1; i <= n; i++) { p[i] = i;
    cnt[i] = 1;		// 初始化各结点为根，其所属集合大小为1
}
/* 并查集核心操作 */
int find(int x) { if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}
/* 合并结点a和b所在集合：将a并至b */
if (find(a) == find(b)) continue;	// 若已在同一集合内则跳过
cnt[find(b)] += cnt[find(a)];	// 需将a所属集合的大小加至b
p[find(a)] = find(b);

                    7.3 维护到祖宗结点距离的并查集

                    int n;
int p[N], d[N];		// d[i]存储结点i到其根结点p[i]的距离
/* 初始化 */
for (int i = 1; i <= n; i++) { p[i] = i;
    d[i] = 0;	// 初始化全为0
}
/* 并查集核心操作 */
int find(int x) { if (p[x] != x) { int u = find(p[x]);	// u临时记录根结点
        d[x] += d[p[x]];	// 更新x到根p[x]的路径长度
        p[x] = u;
    }
    return p[x];
}
/* 根据具体问题，初始化根find(a)的偏移量 */
d[find(a)] = distance;
/* 合并结点a和b所在集合：将a并至b */
p[find(a)] = find(b);

                    8 堆

                    8.1 优先队列

                    priority_queue max_heap;	// 默认为大根堆
priority_queue, greater > min_heap;	// 小根堆

                    8.2 数组堆

                    可实现堆中任意元素的插入删除操作，并建立与插入序列之间的映射关系。

                    int h[N], cnt;
int ph[N], hp[N], idx;
// h[1 ... cnt]为小根堆，h[1]为堆顶/最小值，结点u的左右儿子（若存在）分别为2u、2u+1
// ph[k]映射插入序列中第k个点到堆中的下标u (Position-Heap)
// hp[u]映射堆中结点u到插入序列中的序号k (Heap-Position)
/* 堆swap函数：交换堆中两个结点a和b的所有信息（若不建立映射则用std::swap()即可） */
void heap_swap(int a, int b) { swap(ph[hp[a]], ph[hp[b]]);
    swap(hp[a], hp[b]);
    swap(h[a], h[b]);
}
/* 向下调整：一路向下交换结点u与其较小的儿子 */
void down(int u) { int t = u;		// 记录u、2u、2u+1三个结点中的最小值结点编号
    if (2 * u <= cnt && h[2 * u] < h[t]) t = 2 * u;
    if (2 * u + 1 <= cnt && h[2 * u + 1] < h[t]) t = 2 * u + 1;
  
    if (t != u) { heap_swap(u, t);
        down(t);
    }
}
/* 向上调整：一路向上交换结点u与其父结点 */
void up(int u) { while (u / 2 && h[u / 2] > h[u]) { heap_swap(u / 2, u);
        u >>= 1;
    }
}
/* 插入一个数x */
void insert(int x) { cnt++, idx++;
    ph[idx] = cnt, hp[cnt] = idx;
    h[cnt] = x;
    up(cnt);
}
/* 删除最小值/堆顶元素 */
void remove_top() { heap_swap(1, cnt);
    cnt--;
    down(1);
}
/* 删除第k个插入的元素 */
void remove(int k) { int u = ph[k];
    heap_swap(u, cnt);
    cnt--;
    up(u), down(u);	// 只会执行其中一个
}
/* 修改第k个插入的元素为x */
void change(int k, int x) { int u= ph[k];
    h[u] = x;
    up(u), down(u);	// 只会执行其中一个
}

                    9 哈希

                    9.1 一般哈希

                    N最好取质数，使得冲突概率尽可能低

                    若要删除，则可额外开bool数组标记各地址元素状态来表示是否被删

                    9.1.1 拉链法

                    int h[N], e[N], ne[N], idx;
/* 链表初始化 */
memset(h, -1, sizeof h);
/* 向哈希表中插入一个数 */
void insert(int x) { int t = (x % N + N) % N;	// C++的负数取余运算：(-n) mod k = -(n mod k)
    e[idx] = x, ne[idx] = h[t], h[t] = idx++;	// 将x头插在链表h[t]
}
/* 在哈希表中查询某个数是否存在 */
bool find(int x) { int t = (x % N + N) % N;
    for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])	// 遍历整条链表h[t]
        if (e[i] == x) return true;
  
    return false;
}

                    9.1.2 开放寻址法

                    数组长度应开到最大数据量的2~3倍

                    const int INF = 0x3f3f3f3f;		// 表示该哈希值的元素不在哈希表内
int h[N];
/* 哈希表初始化 */
memset(h, 0x3f, sizeof h);		// 初始化为无穷
/* 若x在哈希表中，返回x的下标；否则返回x应该插入的位置*/
int find(int x) { int t = (x % N + N) % N;
    while (h[t] != INF && h[t] != x) {// 若已存在该哈希值的元素且该元素不等于x
        t++;
        if (t == N) t = 0;
    }
    return t;
}

                    9.2 字符串哈希

                    字符串前缀哈希法：快速判断两段字符串是否相等（不考虑冲突）

                    • 核心思想：将字符串看成 P P P 进制数， P P P 的经验值是 131 131 131 或 13331 13331 13331 ，取这两个值的冲突概率极低
                    • 小技巧：取模的数用 2 64 2^{64} 264，这样直接用unsigned long long存储，溢出的结果就是取模的结果 
                      typedef unsigned long long ULL;
const int P = 131;
char str[N];	// 待哈希字符串str[1 ... n]
int n;			// 字符串的长度
ULL h[N], p[N];	// h[k]存储字符串前k个字母的哈希值（前缀和），p[k]存储 P^k mod 2^64
/* 预处理前缀哈希 */
p[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) { h[i] = h[i - 1] * P + str[i];	// 求前缀和
    p[i] = p[i - 1] * P;	// unsigned long long溢出相当于对2^64取模
}
/* 计算子串str[l...r]的哈希值 */
ULL get(int l, int r) { return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1];
}

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