【算法专题】前缀和

前缀和

前缀和
- 1. 前缀和【模板】
- 2. 二维前缀和【模板】
- 3. 寻找数组的中心下标
- 4. 除自身以外数组的乘积
- 5. 和为K的子数组
- 6. 和可被K整除的子数组
- 7. 连续数组
- 8. 矩阵区域和
  前缀和
  
  1. 前缀和【模板】
  
  题目链接 -> Nowcoder -DP34.前缀和【模板】
  
  Nowcoder -DP34.前缀和【模板】
  
  题目：给定一个长度为n的数组 a1, a2, …an.
  接下来有q次查询, 每次查询有两个参数l, r.
  对于每个询问, 请输出 al + al + 1 + … + ar
  
  输入描述：
  第一行包含两个整数n和q.
  第二行包含n个整数, 表示 a1, a2, …an.
  接下来q行, 每行包含两个整数 l 和 r.
  1 ≤ n, q ≤ 10^5
  −10^9 ≤ a[i] ≤ 10^9
  1 ≤ l ≤ r ≤n
  
  输出描述：
  输出q行, 每行代表一次查询的结果.
  
  示例1
  输入：
  3 2
  1 2 4
  1 2
  2 3
  
  输出：
  3
  6
  
  思路：
  1. 先预处理出来⼀个「前缀和」数组：
  用 dp[i] 表示： [1, i] 区间内所有元素的和，那么 dp[i - 1] 里面存的就是 [1, i - 1] 区间内所有元素的和，那么：可得递推公式： dp[i] = dp[i - 1] + arr[i] ；
  1. 使用前缀和数组，「快速」求出「某⼀个区间内」所有元素的和：
  当询问的区间是 [l, r] 时：区间内所有元素的和为： dp[r] - dp[l - 1]
  
  代码如下：
```
#include #include using namespace std;
		
		int main() 
		{
		    int n = 0, q = 0;
		    cin >> n >> q;
		
		    // 读取数据
		    vector arr(n + 1);
		    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> arr[i];
		    
		    // 处理前缀和数组
		    vector dp(n + 1);
		    for(int i = 1; i <= n; i++)
		        dp[i] = dp[i - 1] + arr[i];
		    
		    // 计算区间和
		    while(q--)
		    {
		        int l = 0, r = 0;
		        cin >> l >> r;
		        cout << dp[r] - dp[l - 1] << endl;
		    }
		
		    return 0;
		}
```
  2. 二维前缀和【模板】
  
  题目链接 -> Nowcoder -DP35.二维前缀和【模板】
  
  Nowcoder -DP35.二维前缀和【模板】
  
  题目：给你一个 n 行 m 列的矩阵 A ，下标从1开始。
  接下来有 q 次查询，每次查询输入 4 个参数 x1, y1, x2, y2
  请输出以(x1, y1) 为左上角, (x2, y2) 为右下角的子矩阵的和，
  
  输入描述：
  第一行包含三个整数n, m, q.
  接下来n行，每行m个整数，代表矩阵的元素
  接下来q行，每行4个整数x1, y1, x2, y2，分别代表这次查询的参数
  
  1 <= n,m <= 1000
  1 <= q <= 10^5
  -10^9 <= a[i][j] <= 10^9
  1 <= x1 <= x2 <= n
  1 <= y1 <= y2 <= m
  
  输出描述：
  输出q行，每行表示查询结果。
  
  思路：前缀和；
  1、首先搞出来前缀和矩阵，这里就要用到一维数组里面的拓展知识，我们要在矩阵的最上面和最左边添加上一行和一列 0，这样我们就可以省去非常多的边界条件的处理；处理后的矩阵就像这样：
  
  这样，我们填写前缀和矩阵数组的时候，下标直接从 1 开始，能大胆使用 i - 1 , j - 1 位置的值。
  注意 dp 表与原数组 matrix 内的元素的映射关系：
  - 从 dp 表到 matrix 矩阵，横纵坐标减一；
  - 从 matrix 矩阵到 dp 表，横纵坐标加一
    前缀和矩阵中 dp[i][j] 的含义，以及如何递推二维前缀和方程
    1. dp[i][j] 的含义：
      dp[i][j] 表示，从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这段区域内，所有元素的累加和。对应下图的红色区域
    1. 递推方程
    我们可以将 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这段区域分解成下面的部分：
    
    dp[i][j] = 红 + 蓝 + 绿 + 紫，分析一下这四块区域：
    - 紫色部分最简单，它就是原数组矩阵中的 matrix[i - 1][j - 1] （注意坐标的映射关系）
    - 单独的蓝不好求，因为它不是我们定义的状态表示中的区域，同理，单独的绿也是；
    - 但是如果是红 + 蓝，正好是我们 dp 数组矩阵中 dp[i - 1][j] 的值
    - 同理，如果是红 + 绿，正好是我们 dp 数组矩阵中 dp[i][j - 1] 的值
    - 如果把上面求的三个值加起来，那就是紫 + 红 + 蓝 + 红 + 绿，发现多算了一部分红的面积，因此再单独减去红的面积即可；
    - 红的面积正好也是符合 dp 数组的定义的，即 dp[i - 1][j - 1]
      综上所述，我们的 dp 矩阵递推方程就是：
      dp[i][j]=dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1]+matrix[i - 1][j - 1]
      
      2、使用 dp 前缀和矩阵
      
      我们可以继续使用下面这个图，题中求的是 [x1, y1] 到 [x2, y2] 的面积：
      
      也可以画出具体的图理解，如下图所示：
      
      接下来分析如何使用这个前缀和矩阵，假设上图中这里的 x 和 y 都处理过了，对应的正是 dp 矩阵中的下标；
      
      因此我们要求的就是紫色部分的面积，继续分析几个区域：
      - 红色，能直接求出来，就是 dp[x1 - 1][y1 - 1] （为什么减一？因为要剔除掉 x1 这一行和 y1 这一列，这一行和这一列是要求出来的结果的一部分）
      - 蓝色，直接求不好求，但是和红色拼起来，正好是 dp 表内 dp[x1 - 1][y2] 的数据
      - 同理，绿色不好求，但是红 + 绿 = dp[x2][y1 - 1] ；
      - 再看看整个面积，非常好求，正好是 dp[x2][y2] ；
      - 那么，紫色 = 整个面积 - 红 - 蓝 - 绿，但是蓝绿不好求，我们可以这样减：整个面积 -（蓝 + 红）-（绿 + 红），这样相当于多减去了一个红，再加上即可
        综上所述：紫 = 整个面积 -（蓝 + 红）- （绿 + 红）+ 红，从而可得紫色区域内的元素总和为：dp[x2][y2] - dp[x2][y1 - 1] - dp[x1 - 1][y2] + dp[x1 - 1][y1 - 1]
        
        思路介绍完毕，代码如下：
        
        #include #include using namespace std; int main() { int n = 0, m = 0, q = 0; cin >> n >> m >> q; // 输入矩阵 vector> arr(n + 1, vector(m + 1)); for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 1; j <= m; j++) cin >> arr[i][j]; // 预处理，创建一个 dp 矩阵 vector> dp(n + 1, vector(m + 1)); for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 1; j <= m; j++) dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + arr[i][j]; // 使用矩阵查询 while(q--) { int x1, y1, x2, y2; cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2; cout << (dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1]) << endl; } return 0; }
        
        3. 寻找数组的中心下标
        
        题目链接 -> Leetcode -724.寻找数组的中心下标
        
        Leetcode -724.寻找数组的中心下标
        
        题目：给你一个整数数组 nums ，请计算数组的中心下标。
        数组中心下标是数组的一个下标，其左侧所有元素相加的和等于右侧所有元素相加的和。
        如果中心下标位于数组最左端，那么左侧数之和视为 0 ，因为在下标的左侧不存在元素。这一点对于中心下标位于数组最右端同样适用。
        如果数组有多个中心下标，应该返回最靠近左边的那一个。如果数组不存在中心下标，返回 - 1 。
        
        示例 1：
        输入：nums = [1, 7, 3, 6, 5, 6]
        输出：3
        解释：
        中心下标是 3 。
        左侧数之和 sum = nums[0] + nums[1] + nums[2] = 1 + 7 + 3 = 11 ，
        右侧数之和 sum = nums[4] + nums[5] = 5 + 6 = 11 ，二者相等。
        
        示例 2：
        输入：nums = [1, 2, 3]
        输出： - 1
        解释：
        数组中不存在满足此条件的中心下标。
        
        示例 3：
        输入：nums = [2, 1, -1]
        输出：0
        解释：
        中心下标是 0 。
        左侧数之和 sum = 0 ，（下标 0 左侧不存在元素），
        右侧数之和 sum = nums[1] + nums[2] = 1 + -1 = 0 。
        
        提示：
        
        1 <= nums.length <= 10^4
        1000 <= nums[i] <= 1000
        思路：从中心下标的定义可知，除中心下标的元素外，该元素左边的「前缀和」等于该元素右边的「后缀和」。
        
        因此，我们可以先预处理出来两个数组，⼀个表示前缀和，另一个表示后缀和。
        然后，我们可以用一个 for 循环枚举可能的中心下标，判断每一个位置的「前缀和」以及「后缀和」，如果二者相等，就返回当前下标。
        代码如下：
        
        class Solution { public: // 前缀和思想 int pivotIndex(vector& nums) { int n = nums.size(); vector dp(n + 1); // 先填表 for(int i = 1; i <= n; i++) dp[i] = dp[i - 1] + nums[i - 1]; // 使用 dp 表 for(int i = 1; i <= n; i++) if(dp[i - 1] == dp[n] - dp[i]) return i - 1; return -1; } };
        
        4. 除自身以外数组的乘积
        
        题目链接 -> Leetcode -238.除自身以外数组的乘积
        
        Leetcode -238.除自身以外数组的乘积
        
        题目：给你一个整数数组 nums，返回数组 answer ，其中 answer[i] 等于 nums 中除 nums[i] 之外其余各元素的乘积。
        题目数据保证数组 nums之中任意元素的全部前缀元素和后缀的乘积都在 32 位整数范围内。
        请不要使用除法，且在 O(n) 时间复杂度内完成此题。
        
        示例 1:
        输入: nums = [1, 2, 3, 4]
        输出 : [24, 12, 8, 6]
        
        示例 2 :
        输入 : nums = [-1, 1, 0, -3, 3]
        输出 : [0, 0, 9, 0, 0]
        
        提示：
        
        2 <= nums.length <= 10^5
        30 <= nums[i] <= 30
        保证数组 nums之中任意元素的全部前缀元素和后缀的乘积都在 32 位整数范围内。
        
        思路：根据题意，对于每⼀个位置的最终结果 ret[i] ，它是由两部分组成的：
        
        nums[0] * nums[1] * nums[2] * … * nums[i - 1]
        nums[i + 1] * nums[i + 2] * … * nums[n - 1]
        于是，我们可以利用前缀和的思想，使用两个数组 f 和 g，分别处理出来两个信息：
        
        f[i] 表示：i 位置之前的所有元素，即 [0, i - 1] 区间内所有元素的前缀乘积
        g[i] 表示：i 位置之后的所有元素，即 [i + 1, n - 1] 区间内所有元素的后缀乘积
        然后再处理最终结果
        
        代码如下：
        
        class Solution { public: vector productExceptSelf(vector& nums) { int n = nums.size(); vector f(n, 1), g(n, 1), dp(n); // f[i] 表示：i 位置之前的所有元素，即 [0, i - 1] 区间内所有元素的前缀乘积; // g[i] 表示：i 位置之后的所有元素，即 [i + 1, n - 1] 区间内所有元素的后缀乘积 for(int i = 1; i < n; i++) f[i] = f[i - 1] * nums[i - 1]; for(int i = n - 2; i >= 0; i--) g[i] = g[i + 1] * nums[i + 1]; for(int i = 0; i < n; i++) dp[i] = f[i] * g[i]; return dp; } };
        
        5. 和为K的子数组
        
        题目链接 -> Leetcode -560.和为K的子数组
        
        Leetcode -560.和为K的子数组
        
        题目：给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ，请你统计并返回该数组中和为 k 的连续子数组的个数。
        子数组是数组中元素的连续非空序列。
        
        示例 1：
        输入：nums = [1, 1, 1], k = 2
        输出：2
        
        示例 2：
        输入：nums = [1, 2, 3], k = 3
        输出：2
        
        提示：
        
        1 <= nums.length <= 2 * 10^4
        1000 <= nums[i] <= 1000
        10^7 <= k <= 10^7
        思路：设 i 为数组中的任意位置，用 sum[i] 表示 [0, i] 区间内所有元素的和；想知道有多少个「以 i 为结尾的和为 k 的子数组」，就要找到有多少个起始位置为 x1, x2, x3… 使得 [x, i] 区间内的所有元素的和为 k ；那么 [0, x] 区间内的和就是sum[i] - k 了。于是问题就变成：
        
        找到在 [0, i - 1] 区间内，有多少前缀和等于 sum[i] - k 的即可
        代码如下：
        
        class Solution { public: int subarraySum(vector& nums, int k) { int n = nums.size(); vector dp(n + 1); unordered_map hash; // 当整个前缀和等于 k 时，相当于找和为 0 的个数，所以默认和为 0 的有一个 hash[0] = 1; int sum = 0, ret = 0; for(int i = 1; i <= n; i++) { // 计算当前位置的前缀和 dp[i] = dp[i - 1] + nums[i - 1]; // 在 [0, i - 1] 区间内，有多少前缀和等于 dp[i] - k if(hash.count(dp[i] - k)) ret += hash[dp[i] - k]; hash[dp[i]]++; } return ret; } };
        
        6. 和可被K整除的子数组
        
        题目链接 -> Leetcode -974.和可被K整除的子数组
        
        Leetcode -974.和可被K整除的子数组
        
        题目：给定一个整数数组 nums 和一个整数 k ，返回其中元素之和可被 k 整除的（连续、非空）子数组的数目。
        
        子数组是数组的连续部分。
        
        示例 1：
        输入：nums = [4, 5, 0, -2, -3, 1], k = 5
        输出：7
        解释：
        有 7 个子数组满足其元素之和可被 k = 5 整除：
        [4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3]
        
        示例 2:
        输入: nums = [5], k = 9
        输出 : 0
        
        提示 :
        
        1 <= nums.length <= 3 * 10^4
        10^4 <= nums[i] <= 10^4
        2 <= k <= 10^4
        思路：
        
        同余定理：如果（a - b）% p = 0，那么 a % p = b % p；设 [0, x - 1] 区间内所有元素之和等于 a ， [0, i] 区间内所有元素的和等于 b ，可得(b - a) % k == 0；
        由同余定理可得， [0, x - 1] 区间与 [0, i] 区间内的前缀和同余。于是问题就变成：找到在 [0, i - 1] 区间内，有多少前缀和的余数等于 dp[i] % k 的即可。
        
        代码如下：
        
        class Solution { public: int subarraysDivByK(vector& nums, int k) { int n = nums.size(); vector dp(n + 1); unordered_map hash; hash[0] = 1; // 0 这个数的余数 int ret = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { // 当前位置的前缀和 dp[i] = dp[i - 1] + nums[i - 1]; // 因为 c++ 中负数对正数取余得到的是负数，所以要进行修正，修正后的结果： int tp = (dp[i] % k + k) % k; // 相当于是 dp[i] % k // 统计结果 // 如果这个余数在前面出现过，现在加上 nums[i - 1] 后，还是等于这个余数，说明这个数可以被 k 整数 if (hash.count(tp)) ret += hash[tp]; hash[tp]++; } return ret; } };
        
        7. 连续数组
        
        题目链接 -> Leetcode -525.连续数组
        
        Leetcode -525.连续数组
        
        题目：给定一个二进制数组 nums, 找到含有相同数量的 0 和 1 的最长连续子数组，并返回该子数组的长度。
        
        示例 1:
        输入: nums = [0, 1]
        输出 : 2
        说明 : [0, 1] 是具有相同数量 0 和 1 的最长连续子数组。
        
        示例 2 :
        输入 : nums = [0, 1, 0]
        输出 : 2
        说明 : [0, 1] (或[1, 0]) 是具有相同数量0和1的最长连续子数组。
        
        提示：
        
        1 <= nums.length <= 10^5
        nums[i] 不是 0 就是 1
        思路：设 i 为数组中的任意位置，用 sum[i] 表示 [0, i] 区间内所有元素的和。如果将 0 记为 -1 ， 1 记为 1 ，问题就变成了找出一段区间，这段区间的和等于 0.
        
        想知道最大的「以 i 为结尾的和为 0 的⼦数组」，就要找到从左往右第⼀个 x1 使得 [x1, i] 区间内的所有元素的和为 0 。
        
        那么 [0, x1 - 1] 区间内的和就是 sum[i] 了。于是问题就变成：
        找到在 [0, i - 1] 区间内，第⼀次出现 sum[i] 的位置即可；
        
        我们可以用一个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，一边记录第一次出现该前缀和的位置。
        
        代码如下：
        
        class Solution { public: int findMaxLength(vector& nums) { int n = nums.size(); unordered_map hash; // 默认有一个前缀和为 0 的情况 hash[0] = -1; int retlen = 0, sum = 0; for(int i = 0; i < n; i++) { // 计算当前位置的前缀和 sum += nums[i] == 0? -1 : 1; if(hash.count(sum)) retlen = max(i - hash[sum], retlen); // 存下标 else hash[sum] = i; } return retlen; } };
        
        8. 矩阵区域和
        
        题目链接 -> Leetcode -1314.矩阵区域和
        
        Leetcode -1314.矩阵区域和
        
        题目：给你一个 m x n 的矩阵 mat 和一个整数 k ，请你返回一个矩阵 answer ，其中每个 answer[i][j] 是所有满足下述条件的元素 mat[r][c] 的和：
        
        i - k <= r <= i + k,
        j - k <= c <= j + k 且
        (r, c) 在矩阵内。
        
        示例 1：
        输入：mat = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]], k = 1
        输出： [[12, 21, 16], [27, 45, 33], [24, 39, 28]]
        
        示例 2：
        输入：mat = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]], k = 2
        输出： [[45, 45, 45], [45, 45, 45], [45, 45, 45]]
        
        提示：
        
        m == mat.length
        n == mat[i].length
        1 <= m, n, k <= 100
        1 <= mat[i][j] <= 100
        思路：二维前缀和的简单应用题，画图写出公式即可；
        
        代码如下：
        
        class Solution { public: vector> matrixBlockSum(vector>& mat, int k) { int m = mat.size(), n = mat[0].size(); vector> dp(m + 1, vector(n + 1)); vector> ret(m, vector(n)); for(int i = 1; i <= m; i++) for(int j = 1; j <= n; j++) dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + mat[i - 1][j - 1]; for(int i = 0; i < m; i++) { for(int j = 0; j < n; j++) { int x1 = max(0, i - k) + 1, y1 = max(0, j - k) + 1; int x2 = min(m - 1, i + k) + 1, y2 = min(n - 1, j + k) + 1; ret[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1]; } } return ret; } };

数组 前缀

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